カードを別の列へ移動したときに、日付などを自動入力できますか？

はい、可能です。

プラグイン設定の［固定値入力］を有効にすると、カードを移動したときに指定フィールドへ値を入力できます。実行するタイミングに「カードを移動した時」を選び、移動元・移動先の列と、入力する値（日付フィールドなら「当日」など）を設定します。

たとえば、「新規」から「対応中」へ移動したときに、作業開始日へ当日の日付を入れる、といった運用が可能です。

設定方法については、以下の活用ガイドをご覧ください。

https://crena-plugin.com/guides/set-fixed-value-on-column-move