カードをドラッグ＆ドロップで、列やグループを変更できますか？

はい、可能です。

カードをドラッグ＆ドロップすると、別の列やグループへ移動できます。列フィールドやグループフィールドの値が、移動先に応じて更新されます。

複数のカードを選択して一括で移動することも可能です。